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  基于转向系统硬点的转向传动轴相位角求解方法转向传动轴在驾驶舱内的安装空间有限，受刹车踏板等零件布局的制约，中间轴与主、从动轴的轴线不在同一平面内。而且方向盘高度一般可以调节，使输入轴与中间轴的传动角度α 能够改变，因此，双十字轴万向节传动轴难以满足等速传动条件。此时，调节中间轴的相位角ψ 成为抑制或消除转速波动的有效方法。根据此前的分析，最佳相位角等于传动面夹角。由于车架加工误差和受载变形等因素影响，求取传动面夹角最直接、最方便的方法是通过测量获取转向系统硬点，来计算传动面夹角，从而得到最佳相位角。设定方向盘连接中心为A 点，上转向轴的十字轴心为B点，下传动轴的十字轴心为C 点，与齿轮齿条转向器相连的节叉下端面花键孔中心为D 点。
  如图7 所示。已知空间不共面四点坐标为A ( Xa，Ya，Za) 、B( Xb，Yb，Zb) 、C( Xc，Yc，Zc) 、D( Xd，Yd，Zd) ，求面ABC与面BCD 夹角的方法为: 设平面ABC 的方程为A1x + B1y + C1 z + D1 = 0 ( 20)按平面三点式方程( 行列式表达) 为x － Xa y － Ya z － Za Xb － Xa Yb － Ya Zb － Za Xc － Xa Yc － Ya Zc － Za= 0 ( 21)故A1 = ( Yb － Ya) ( Zc － Za) － ( Yc － Ya) ( Zb － Za)B1 = ( Xc － Xa) ( Zb － Za) － ( Xb － Xa) ( Zc － Za)C1 = ( Xb － Xa) ( Yc － Ya) － ( Xc － Xa) ( Yb － Ya)图7 转向传动轴的空间关键点图同理，设平面BCD 的方程为A2x + B2y + C2 z + D2= 0，则

A2 = ( Yb － Yd) ( Zc － Zd) － ( Yc － Yd) ( Zb － Zd)B2 = ( Xc － Xd) ( Zb － Zd) － ( Xb － Xd) ( Zc － Zd)C2 = ( Xb － Xd) ( Yc － Yd) － ( Xc － Xd) ( Yb － Yd)设ABC 面与BCD 面的夹角为γ，由ψ = γ 得相位角的计算公式为ψ = arccos A1A2 + B1B2 + C1C2槡A1A1 + B1B1 + C1C1槡A2A2 + B2B2 + C2C2( 22)。

  程序编制与实例验证由于传动轴角速度比ω3 /ω1的计算式( 15) 和硬点坐标计算相位角的公式( 22) 都比较复杂，为了在工程应用能够方便、快捷地应用以上理论分析结果，本研究基于VB 软件编制了双十字轴万向节转向传动轴的相位角分析程序( 如图8 所示) 。图8 双十字轴万向节转向传动轴的相位角分析程序界面在程序中，相位角的计算分析有角度模式和硬点模式两种。角度模式下，既可直接输入传动角α 和β、传动面夹角γ、相位角ψ，也可通过点击滚动条按钮来改变各角度值，任何角度值的改变，都会使右侧的ω3 /ω1曲线发生变化，方便工程人员进行动态查看转速变化趋势。硬点模式下，只需要输入A、B、C、D 点的三维坐标，就能计算出中间轴的最佳相位角。为检验程序的准确性和实用性，针对文献［11］19 － 22中的转向柱中间传动轴，将其硬点坐标( 如图8 中坐标值) 输入程序中，计算出的最佳相位角为72． 4°。同时，在本程序的角度模式中，输入传动角α和β、传动面夹角γ，同样能计算出最佳相位角为72． 4°，且ω3 /ω1曲线也同时绘出。
  计算结果与文献［11］19 － 22计算结果以及实车结构参数一致，说明程序计算结果是准确的。5 结论本文中我们建立了空间坐标系，采用空间几何投影的方法，建立了双十字轴万向节转向传动轴的转速比和转角方程，并用等速条件验证了其正确性。采用具有代表性的结构参数，定量分析了传动角和传动面夹角取不同值时，相位角对转速比的影响。研究结果表明: 当两个传动角相等，且相位角等于传动面夹角时，输出轴与输入轴之间能实现等速传动; 两个传动角不相等时，双十字轴万向节传动轴不能实现等速传动，但是，当相位角等于传动面夹角时，输出轴与输入轴之间的转速差最小。因此，传动轴相位角与传动面夹角相等且方向相反时，为最佳相位角。在理论推导与分析的基础上，我们推导出了基于转向系统硬点的转向传动轴最佳相位角求解公式，编制了双十字轴万向节转向传动轴的相位角分析程序，通过实例验证了程序计算结果的准确性。本文中的分析结论和所编制的程序对汽车转向系统的设计以及其他类型万向节的传动研究具有理论和实际意义。