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  双十字轴万向节传动的角速度计算推导双十字轴万向节传动轴承的运动机构简图如图1所示。输入轴L1与中间轴L2的夹角为α( 0°≤α≤90°) ，中间轴L2与输出轴L3的夹角为β ( 0°≤β≤90°) ; 输入轴转速为ω1，中间轴转速为ω2，输出轴转速为ω3; 输入轴节叉平面Ⅰ与L1O1L2平面之间的瞬时夹角为θ1( 即输入角) ; 输出轴节叉平面Ⅳ与L2O2L3平面之间的瞬时夹角为θ3( 即输出角) 。平面L1O1L2与L2O2L3之间的夹角为传动夹角γ ( － 90°≤γ≤90°) ，中间轴两端节叉所在平面Ⅱ和Ⅲ之间的夹角为相位角ψ( － 90°≤ψ≤90°) 。为方便分析，令平面Ⅰ与L1O1L2平面处于图1 所示的垂直状态时( 即DO1⊥L1O1L2) ，为整个双十字轴万向节传动轴运动分析起始点θ1 = 0°，传动轴逆时针方向旋转时θ1为正且增大。

  1． 1 输入轴与中间轴万向节运动分析取垂直于中间轴L2的平面为投影面，则中间轴节叉C 的运动轨迹为圆，输入轴节叉D 的运动轨迹为椭圆。为分析节叉C、D 组成的十字轴万向节的运动，建立如图2 中所示的坐标系，令输入轴的角度增量为Δθ1，中间轴的角度增量为Δθ2 '，由投影几何关系可得到tan Δθ1tan Δθ2 ' = D2Q/O1QD1Q/O1Q = D2QD1Q = O1D2 'O1D1 ' = 1cos α( 1)tan Δθ2 ' = tan Δθ1·cos α ( 2)图1 双十字轴万向节传动轴的运动机构简图图2 输入轴与中间轴万向节的运动分析图整个运动系统的旋转角度起始点为O1D0，则输入轴节叉的转动角度为θ1 = Δθ1( 3)中间轴节叉C 与O1D0的夹角为θ2 ' = Δθ2 ' + 90° = arctan( tan θ1·cos α) + 90° ( 4)对于确定的转向传动轴系，α 角不变，把式( 4) 两边对t 求导，整理后可得dθ2 'dt = cos α1 － sin2α·sin2θ1·dθ1dt( 5)因此，对于输入轴与中间轴万向节而言，中间轴L2与输入轴L1之间的旋转角速度之比为ω2 'ω1= cos α1 － sin2α·sin2θ1( 6)。
  1． 2 中间轴与输出轴万向节运动分析再取垂直于中间轴L2的平面为投影面，则中间轴节叉E 的运动轨迹为圆，输出轴节叉F 的运动轨迹为椭圆。为分析节叉E、F 组成的十字轴万向节的运动，建立如图3 中所示的坐标系。令中间轴的角度增量为Δθ2 ″，输出轴的角度增量为Δθ3，由投影几何关系可得到tan Δθ2 ″tan Δθ3= F1Q/OQF2Q/OQ = F1QF2Q = OF1 'OF2 ' = cos β ( 7tan Δθ3 = tan Δθ2 ″cos β( 8)上式可变换为Δθ3 = arctan tan Δθ2 ″cos β( 9)对于确定的转向传动轴系，β 角不变，把式( 9) 两边对t 求导，整理后可得dθ3dt = cos β1 － sin2β·cos2Δθ2 ″·dθ2 ″dt( 10)从图3 中的坐标系和几何关系可知θ2 ″ = 90 + Δθ2 ″ ( 11)传动面夹角γ 的存在，相当于将中间轴节叉E 相对于节叉C 反方向旋转相同的角度，与等速传动条件相违背。而相位角ψ 的存在是为了减小传动面夹角γ、α 与β 不相等造成的影响［7 － 10］。考虑传动面夹角γ和相位角ψ，则有θ2 ″ = θ2 ' － γ + ψ ( 12)图3 中间轴与输出轴万向节的运动分析图将式( 4) 、式( 11) 和式( 12) 代入式( 10) 得dθ3 dt = cos β1 － sin2β·cos2［arctan( tan θ1·cos α) － γ + ψ］dθ2 ″dt( 13)因此，中间轴与输入轴之间的旋转角速度之比为ω3ω2 ″ = cos β1 － sin2β·cos2［arctan( tan θ1·cos α) － γ + ψ］( 14)中间轴节叉C 和E 都固定在同一根轴上，ω2 ' =ω2 ″ = ω2，因此ω3ω1= cos α1 － sin2α·sin2θ1×cos β1 － sin2β·cos2［arctan( tan θ1·cos α) － γ + ψ］( 15)。

  1． 3 等速条件验证将式( 11) 、式( 12) 、式( 4) 代入式( 9) 得Δθ3 = arctan tan[ arctan( tan θ1cos α) － γ + ψ]cos β( 16)由于转向传动轴旋转角度起始点O1D0与O2F0重合，θ3 = Δθ3，则输出轴转角为θ3 = arctan tan arctan( tan θ1cos α) － γ + [ ψ]cos β( 17)根据上述提到的3 个等速传动条件，将α = ± β，γ= 0，ψ = 0 代入式( 16) 可得到θ3 = arctan tan θ1 cos αcos β = θ1( 18)即双十字轴万向节传动轴为等速传动。由于式( 15) 比较复杂，难以直观看出等速传动条件下ω3与ω1之间的关系。本研究将γ = 0、ψ = 0 代入式( 15) ，令α 分别取0°、5°、10°、…、175°，且α = ± β。通过计算后均得到ω3 = ω1，即双十字轴万向节传动轴为等速传动，证明以上推导过程与结果是正确的。
  相位角对转向传动轴输出转速的影响分析根据上述推导过程，从式( 15) 可看出，对于具体的双十字轴万向节转向传动轴结构，ω3 /ω1是输入轴转角θ1的函数，函数曲线周期为π。当γ、ψ 为零，θ1= nπ/2 ( n = 0，1，2，…，n) 时，ω3 /ω1取最值; 当γ、ψ取非零值时，ω3 /ω1函数曲线的最值和相位都会发生变化; 传动面夹角γ 与相位角ψ 对ω3 /ω1的影响效果相当。

  对于普通乘用车而言，转向传动轴在驾驶舱内的安装空间受到很多限制，传动角α、β 和传动面夹角γ很难随意改变，而相位角的改变比较容易。为分析传动角α、β，传动面夹角γ 取不同值时，相位角ψ 对ω3 /ω1影响，本研究采用具有代表性的结构参数，对各种不同情况下的转速比进行了定量分析。( 1) α = β，γ = 0，ψ 取0 ～ 180°图4 相位角对输出转速比的影响规律( α = β = 15°，γ = 0)( 2) α = β，γ≠0，ψ 取0 ～ 180°( 3) α≠β，γ≠0，ψ 取0 ～ 180°从图4 可以看出，传动角α = β 时，若传动面夹角γ = 0，则取相位角ψ = γ = 0 时可实现输入轴与输出轴之间的等转速传动; 从图5 可以看出，传动角α = β时，若传动面夹角γ≠0，则取相位角ψ = γ 时可实现输入轴与输出轴之间的等转速传动; 从图6 可以看出，传动角α≠β 时，若传动面夹角γ≠0，则取相位角ψ = γ 时，输入轴与输出轴之间的转速差最小。图5 相位角对输出转速比的影响规律( α = β = 15°，γ = 30°)

图6 相位角对输出转速比的影响规律( α = 15°，β = 10°，γ = 30°)当两个传动角相等，且相位角等于传动面夹角时，输出轴与输入轴之间能实现等速传动; 两个传动角不相等时，双十字轴万向节传动轴不能实现等速传动，但是，当相位角等于传动面夹角时，输出轴与输入轴之间的转速差最小。因此，传动轴相位角与传动面夹角相等且方向相反时，为最佳相位角。